Programa

Lunes 24 de abril Martes 25 de abril
9:30 Inscripción 9:30 Carlos Martinez
10:00 Florence Gillibert 10:30 Café
11:00 Café 10:45 Cursillo 2
11:30 Cursillo 1 11:35 Sebastián Herrero
12:20 Almuezo 12:25 Almuerzo
14:30 Gonzalo Riquelme 14:30 Beatrice Lasala
15:10 Pausa 15:10 Pausa
15:20 Práctica Cursillo 1 15:20 Práctica Cursillo 2
16:00 Pausa 16:00 Pausa
16:15 Cursillo 1 16:15 Cursillo 2
17:05 Sesión de Posters + Café 17:05 Café
17:35 Giancarlo Lucchini 17:25 Teresa Krick
18:35 Fin 18:25 Fin

Cursillo 1: Métodos cohomológicos en teoría de números.

Profesor: Giancarlo Lucchini (École Polytechnique, Francia).

Ayudantes: Claudio Bravo, Manuel Melo.

Cursillo 2: Resultante y Teorema de los ceros.

Profesor: Teresa Krick (U. de Buenos Aires).

Ayudantes: Edgardo Riquelme, Javier Utreras.

Charlas de investigación:

Florence Gillibert (PUCV): Abelian surfaces with quaternionic multiplication, and rational points on Atkin-Lehner quotients of Shimura curves.

Resumen: Ver pdf.

Sebastián Herrero (Chalmers U. of Technology/U. of Gothenburg): Una fórmula de Rohrlich para el espacio hiperbólico tridimensional.

Resumen: La fórmula de Jensen clásica permite calcular el promedio integral sobre una circunferencia del logaritmo del módulo de una función meromorfa definida en un disco. En 1984, D. Rohrlich encontró un análogo de la fórmula de Jensen para funciones automorfas respecto al grupo modular, donde el promedio se toma sobre la correspondiente curva modular. En esta charla presentaré un fórmula análoga a la de Rohrlich en el contexto del espacio hiperbólico tridimensional y para ciertas familias de funciones automorfas respecto al grupo modular sobre los enteros de un cuerpo cuadrático imaginario. Este trabajo es parte de un proyecto en colaboración con Ö. Imamoglu, A. von Pippich y Á. Tóth.

Teresa Krick (U. de Buenos Aires): Sobre el teorema de los ceros aritmético.

Resumen: El teorema de los ceros establece que si f_1,…,f_s son polinomios en K[x_1,…,x_n] con K un cuerpo, que no comparten ningún cero en la clausura algebraica de K, entonces existen polinomios g_1,…,g_s en K[x_1,…,x_n] tales que 1=g_1f_1+…+g_sf_s. Discutiré cotas de grados y altura en el caso de polinomios definidos sobre el cuerpo de números racionales. Trabajo conjunto con Carlos D’Andrea y Martin Sombra, Universitat de Barcelona.

Beatrice Lasala (PUCV): Sobre la conjetura de Mazur

Resumen: En el año 1900, el matemático alemán David Hilbert propone el problema de construir un algoritmo que pudiese determinar si un polinomio en varias variables y con coeficientes racionales tenía o no raíces en los enteros. A fines de los sesenta, basándose en los trabajos realizados por Martin Davis, Hilary Putnam y Julia Robinson, Yuri Matiyasevich probó que el décimo problema de Hilbert no tenía solución al demostrar que los conjuntos Diofánticos en $\mathbb{Z}$ coinciden con los conjuntos recursivamente enumerables. La pregunta ha sido replanteada para otros anillos y ha sido contestada para una gran cantidad. En esta presentación nos enfocaremos en un problema que se relaciona de manera cercana con el análogo al décimo problema de Hilbert sobre cuerpos de números. En particular, estudiaremos la siguiente conjetura planteada por Barry Mazur y cómo esta se relaciona con el problema de la definibilidad de $\mathbb{Z}$ sobre $\mathbb{Q}$: Sea V cualquier variedad algebraica sobre $\mathbb{Q}$. Entonces la clausura topológica, bajo la topología usual de $\mathbb{R}$, de $V(\mathbb{Q})$ en $V(\mathbb{R})$ tiene, a lo más, una cantidad finita de componentes conexas.

Giancarlo Lucchini (École Polytechnique, Francia): Aproximación muy débil en los espacios homogéneos.

Resumen: Sea k un cuerpo de números y X una variedad algebraica. Las propiedades de aproximación establecen relaciones entre los puntos racionales de X y sus k_v-puntos, donde k_v denota las diversas completaciones de k. Una conjetura de Colliot-Thélène implica que todo espacio homogéneo debe poseer la propiedad de aproximación muy débil y el único caso que queda por demostrar es el de los espacios homogéneos de la forma X=SL_n/F con F un k-grupo finito. En esta charla veremos uno de los pocos resultados positivos que van en esta dirección: el de las cadenas de productos semidirectos de grupos abelianos. Esto nos llevará a ver la relación entre propiedades de aproximación y cohomología galoisiana.

Carlos Martínez (U. de Concepción): El problema diofantino de adición y divisibilidad para subanillos de números racionales.

Resumen: En esta charla demostraremos que la teoría positivo existencial de la estructura $(\mathbb{Z}[S^{-1}];=,0,1,+,\mid)$, donde $S$ es un conjunto finito no vacío de números primos, es indecidible. Es decir, no existe un algoritmo que pueda decidir si un enunciado arbitrario de la forma

$$\exists x_1,…,\exists x_n \bigwedge_{i=1}^k f_i(x_1,…,x_n)| g_i(x_1,…,x_n),$$

donde $f_i$ y $g_i$ son polinomios lineales con coeficientes enteros es cierto o falso en $\mathbb{Z}[S^{-1}]$. Este resultado contrasta con el resultado de L. Lipschitz y Belt’yukov de que los enunciados de esta forma pueden ser decididos sobre $\mathbb Z$.

Gonzalo Riquelme (PUCV): ¿En qué se parecen el invariante j y la función $\psi$ no holomorfa?

Resumen: En esta charla hablaremos primeramente acerca de las series de Eisenstein, para luego introducir los objetos centrales del tema: el invariante j y la función $\psi$ no holomorfa. Estudiaremos algunas de sus relaciones y sus similitudes, y, finalmente, nos enfocaremos en la conjetura que sostiene que ambas funciones comparten el mismo lugar real, presentando así un resultado parcial sobre el problema. Si el tiempo lo permite, veremos además algunas de las estrategias utilizadas en la argumentación que, creemos, servirán también a la hora de probar los casos faltantes. Este es un trabajo en colaboración con Ricardo Menares.

Sesión de Posters:

Marianela Castillo (U. de Concepción): Characterizing intervals containing complete sets of conjugates in a family of totally real towers of nested square roots.

Patricio Pérez (PUCV): Mínimo esencial de la altura de Faltings.